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Cette année, l’épreuve de Maths du Baccalauréat devrait porter sur des thèmes bien spécifiques. Comme nous l’avons déjà abordé dans un précédent article, il y a des thèmes récurrents mais aussi des tendances qui reviennent une année sur deux (et donc assez prévisibles). Par exemple, les années paires ont vu émerger les fonctions logarithmiques comme sujet de prédilection, alors que les années impaires ont mis en avant les fonctions exponentielles.
Nous avons donc demandé à nos experts de rédiger un sujet type pour vous entraîner à l’épreuve de Mathématiques. Et selon eux, si vous avez la moyenne à ce sujet ça sent très bon pour votre épreuve finale…
Exemple d’épreuve du Baccalauréat de Mathématiques 2025 – Sujet & Corrigé
Exercice 1 – Étude de fonction et modélisation
Sujet :
On modélise la concentration d’un médicament par la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par :
f(t) = 5t·e^(-0,25t)
avec t en heures. Répondre aux questions suivantes :
- 1. Étudier les variations de f.
- 2. Déterminer la valeur maximale de f.
- 3. Montrer que f est intégrable sur [0 ; +∞[ et calculer l’intégrale.
- 4. Interpréter cette intégrale dans le contexte.
- 5. Vérifier si la concentration reste supérieure à 1 pendant au moins 4 heures.
Corrigé :
On dérive f : f(t) = 5t·e^(-0,25t).
f'(t) = 5·e^(-0,25t)·(1 – 0,25t).
Donc f est croissante sur [0 ; 4] et décroissante sur [4 ; +∞[.
Valeur maximale en t = 4 : f(4) = 20·e^(-1) ≈ 7,36.
Pour l’intégrale : changement de variable u = 0,25t ⇒ I = ∫₀^∞ 5t·e^(-0,25t) dt = 80.
Cela représente la quantité totale de médicament dans le sang sur une durée infinie.
Enfin, on résout graphiquement f(t) > 1 ⇔ t·e^(-0,25t) > 0,2. Cette inégalité est vérifiée entre environ 0,5h et 7,3h ⇒ durée ≈ 6,8h > 4h ✔️
Exercice 2 – Probabilités, loi binomiale et intervalle de confiance
Sujet :
Une entreprise produit des composants avec une probabilité de défaillance p = 0,03. On teste un échantillon de 40 composants. On appelle X le nombre de composants défectueux.
- 1. Justifier l’utilisation d’une loi binomiale.
- 2. Calculer P(X = 1).
- 3. Calculer P(X ≤ 2).
- 4. Déterminer un seuil k tel que P(X > k) < 5%.
- 5. Sur 20 lots, 18 sont acceptés. Peut-on remettre en cause le modèle p = 0,03 ?
Corrigé :
X suit la loi B(n = 40 ; p = 0,03) (expérience de Bernoulli répétée).
P(X = 1) ≈ 40 × 0,03 × 0,97^39 ≈ 0,362
P(X = 0) ≈ 0,97^40 ≈ 0,29
P(X = 2) ≈ 780 × 0,0009 × 0,311 ≈ 0,218
Donc P(X ≤ 2) ≈ 0,29 + 0,362 + 0,218 = 0,87
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Pour P(X > k) < 0,05, il faut que P(X ≤ k) ≥ 0,95. Par calcul ou table, k = 3 convient.
Sur 20 lots, fréquence f = 18/20 = 0,9.
IC95% ≈ [0,9 – 1/√20 ; 0,9 + 1/√20] = [0,676 ; 1].
La valeur théorique 0,87 ∈ IC ⇒ modèle p = 0,03 non remis en cause.
Exercice 3 – Suites et géométrie dans l’espace
Sujet :
Un drone suit une trajectoire dans l’espace selon :
xₙ₊₁ = 0,5xₙ + 3 yₙ₊₁ = 0,5yₙ + 2 zₙ = 10 M₀(0, 0, 10)
- 1. Montrer que xₙ et yₙ convergent. Donner leur limite.
- 2. Donner une expression explicite de xₙ et yₙ.
- 3. Interpréter le mouvement du drone.
- 4. Montrer que les points Mₙ sont tous dans un même plan.
- 5. Déterminer la nature du triangle M₀M₁M₂.
Corrigé :
xₙ₊₁ = 0,5xₙ + 3 est une suite affine : elle converge car |0,5| < 1.
Limite x = 3 / (1 – 0,5) = 6
Limite y = 2 / (1 – 0,5) = 4
xₙ = 6 – 6(0,5)^n ; yₙ = 4 – 4(0,5)^n
Interprétation : le drone tend vers (6 ; 4 ; 10)
Tous les points ont z = 10 ⇒ ils sont dans le plan z = 10
M₀(0,0,10), M₁(3,2,10), M₂(4,5,3,10)
Vecteurs M₀M₁ et M₁M₂ colinéaires ⇒ points alignés
⇒ le triangle est plat, donc dégénéré
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